【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2﹣(m+n)x+n(m<0)的图象与y轴正半轴交于A点.
(1)求证:该二次函数的图象与x轴必有两个交点;
(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B,若∠ABO=45°,将直线AB向下平移2个单位得到直线l,求直线l的解析式;
(3)在(2)的条件下,设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,当﹣3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,求m的取值范围.
【答案】(1)该二次函数的图象与轴必有两个交点;(2)y=﹣x﹣1;(3)m的取值范围为:﹣<m<0.
【解析】
试题分析:(1)直接利用根的判别式,结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案;
(2)首先求出B,A点坐标,进而求出直线AB的解析式,再利用平移规律得出答案;
(3)根据当﹣3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,当p=0时,q=1;当p=﹣3时,q=12m+4;结合图象可知:﹣(12m+4)≤2,即可得出m的取值范围.
试题解析:(1)令mx2﹣(m+n)x+n=0,则△=(m+n)2﹣4mn=(m﹣n)2,
∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点,∴A(0,n),且n>0,
又∵m<0,∴m﹣n<0,∴△=(m﹣n)2>0,
∴该二次函数的图象与轴必有两个交点;
(2)令mx2﹣(m+n)x+n=0,解得:x1=1,x2=,由(1)得<0,故B的坐标为(1,0),
又因为∠ABO=45°,
所以A(0,1),即n=1,
则可求得直线AB的解析式为:y=﹣x+1.
再向下平移2个单位可得到直线l:y=﹣x﹣1;
(3)由(2)得二次函数的解析式为:y=mx2﹣(m+1)x+1.
∵M(p,q) 为二次函数图象上的一个动点,
∴q=mp2﹣(m+1)p+1.
∴点M关于轴的对称点M′的坐标为(p,﹣q).
∴M′点在二次函数y=﹣m2+(m+1)x﹣1上.
∵当﹣3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,
当p=0时,q=1;当p=﹣3时,q=12m+4;
结合图象可知:﹣(12m+4)<2,解得:m>﹣.
∴m的取值范围为:﹣<m<0.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的长.
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【题目】设A、B两镇相距x千米,甲从A镇、乙从B镇同时出发,相向而行,甲、乙行驶的速度分别为u千米/小时、v千米/小时,并有:①出发后30分钟相遇;②甲到B镇后立即返回,追上乙时又经过了30分钟;③当甲追上乙时他俩离A镇还有4千米.求x、u、v.根据题意,由条件③,有四位同学各得到第3个方程如下,其中错误的一个是( )
A.x=u+4
B.x=v+4
C.2x-u=4
D.x-v=4
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【题目】某校计划开设4门选修课:音乐、绘画、体育、舞蹈,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门),对调查结果进行统计后,绘制了如下不完整的两个统计图.
根据以上统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)此次调查抽取的学生人数为a= 人,其中选择“绘画”的学生人数占抽样人数的百分比为b= 4 ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校有2000名学生,请估计全校选择“绘画”的学生大约有多少人?
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【题目】(3分)一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是( )
A.至少有1个球是黑球
B.至少有1个球是白球
C.至少有2个球是黑球
D.至少有2个球是白球
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