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【题目】在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2(m+n)x+n(m<0)的图象与y轴正半轴交于A点.

(1)求证:该二次函数的图象与x轴必有两个交点;

(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B,若ABO=45°,将直线AB向下平移2个单位得到直线l,求直线l的解析式;

(3)在(2)的条件下,设M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,当3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,求m的取值范围.

【答案】(1)该二次函数的图象与轴必有两个交点;(2)y=x1;(3)m的取值范围为:<m<0.

【解析】

试题分析:(1)直接利用根的判别式,结合完全平方公式求出的符号进而得出答案;

(2)首先求出B,A点坐标,进而求出直线AB的解析式,再利用平移规律得出答案;

(3)根据当3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,当p=0时,q=1;当p=3时,q=12m+4;结合图象可知:(12m+4)2,即可得出m的取值范围.

试题解析:(1)令mx2(m+n)x+n=0,则=(m+n)24mn=(mn)2

二次函数图象与y轴正半轴交于A点,A(0,n),且n>0,

m<0,mn<0,∴△=(mn)2>0,

该二次函数的图象与轴必有两个交点;

(2)令mx2(m+n)x+n=0,解得:x1=1,x2=,由(1)得<0,故B的坐标为(1,0),

又因为ABO=45°

所以A(0,1),即n=1,

则可求得直线AB的解析式为:y=x+1.

再向下平移2个单位可得到直线l:y=x1;

(3)由(2)得二次函数的解析式为:y=mx2(m+1)x+1.

M(p,q) 为二次函数图象上的一个动点,

q=mp2(m+1)p+1.

点M关于轴的对称点M的坐标为(p,q).

M点在二次函数y=m2+(m+1)x1上.

3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,

当p=0时,q=1;当p=3时,q=12m+4;

结合图象可知:(12m+4)<2,解得:m>

m的取值范围为:<m<0.

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