Question

【题目】如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PMPH；④EF的最小值是．其中正确结论_____．（填写序号）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①错误；②正确．想办法证明∠GFM+∠AMD＝90°即可；③正确，只要证明△CPM∽△HPC，可得，推出PC2＝PMPH，根据对称性可知：PA＝PC，可得PA2＝PMPH；

④错误．利用矩形的性质可知EF＝PC，当PC⊥BD时，EF的值最小，最小值为1

解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；

②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，

∵四边形PECF是矩形，

∴OF＝OC，

∴∠OCF＝∠OFC，

∴∠OFC＝∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD＝90°，

∴∠GFM+∠AMD＝90°，

∴∠FGM＝90°，

∴AH⊥EF；

③正确．∵AD∥BH，

∴∠DAP＝∠H，

∵∠DAP＝∠PCM，

∴∠PCM＝∠H，

∵∠CPM＝∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴，

∴PC2＝PMPH，

根据对称性可知：PA＝PC，

∴PA2＝PMPH．

④错误．∵四边形PECF是矩形，

∴EF＝PC，

∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，

∵AC＝2，

∴PC的最小值为1，

∴EF的最小值为1；

故答案为：②③．