Question

如图，已知抛物线y=x²-4x+3，过点D（0，-

5

2

）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设直线MN的解析式为y=kx-

5

2

（k≠0）．根据一元二次方程x²-4x+3=0的根求得点E的坐标．把点E的坐标代入求得k的值即可．

解答：解：过点D（0-

5

2

）的直线与抛物线交于M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N）两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
设直线MN的解析式为：y=kx-

5

2

，
则有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

5

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，
移项后合并同类项得x²-（k+4）x+

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=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

5

2

+kx_N-

5

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=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
当k=-5时，方程x²-（k+4）x+

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2

=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，
∴k=1，
∴直线MN的解析式为y=x-

5

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．此题根据中点坐标的性质求得点E的坐标是解题的关键．