Question

已知，△ABC中，AB=CB，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=FD，BF的延长线交AC于E．求证：
（1）△ACD≌△BFD，
（2）BE⊥AC，
（3）AE=

1

2

BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据SAS即可证得；
（2）根据△ACD≌△BFD得出∠C=∠BFD，因为∠DBF+∠BFD=90°，所以∠C+∠DBF=90°，即可求得∠BEC=90°，即BE⊥AC；
（3）根据△ACD≌△BFD，得出AC=BF，根据等腰三角形的性质即可证得AE=EC=

1

2

AC，进而证得AE=

1

2

BF；

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在△ACD与△BFD中

AD=BD ∠ADC=∠BDF CD=FD

，
∴△ACD≌△BFD（SAS），

（2）∵△ACD≌△BFD，
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC，

（3）∵△ACD≌△BFD，
∴AC=BF，
∵AB=CB，BE⊥AC，
∴AE=EC=

1

2

AC，
∴AE=

1

2

BF；

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等，本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理以及等腰三角形的性质；