Question

如图，已知△ABC在坐标平面内的顶点C（2，0），∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6

2

，∠BCD=45°．
①求A、B的坐标；
②求AB中点M的坐标．

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：

分析：①过A作AE⊥x轴于点E，过B作BD⊥x轴于点D，先解直角△ABC，得到AC=

1

2

AB=3

2

，BC=

3

AC=3

6

，再由△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=

2

2

BC=3

3

，由△ACE是等腰直角三角形得出AE=CE=

2

2

AC=3，再根据C的坐标为（2，0），即可求出A、B的坐标；
②由A、B两点的坐标，根据中点坐标公式即可求出AB中点M的坐标．

解答：解：①过A作AE⊥x轴于点E，过B作BD⊥x轴于点D．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6

2

，
∴AC=

1

2

AB=3

2

，BC=

3

AC=3

6

．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴∠BCD=45°，
∴CD=BD=

2

2

BC=3

3

．
在△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴AE=CE=

2

2

AC=3．
∵C（2，0），
∴OC=2，
∴OE=CE-OC=1，
∴A点坐标为（-1，3）．
∵OD=OC+CD=2+3

3

，
∴B的坐标（2+3

3

，3

3

）；

②∵A（-1，3），B（2+3

3

，3

3

），
∴AB中点M的坐标为（

1+3 3

2

，

3+3 3

2

）．

点评：本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段中点坐标公式，综合性较强，难度适中．