Question

已知抛物线y=-（x-m）²+1与x数的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C，顶点为D．
（1）当m=1时，判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）当点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上时，是否存在某个m值，使得△BOC为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将m=1代入y=-（x-m）²+1，化简可得抛物线的解析式为y=-x²+2x，根据二次函数的性质得到顶点D（1，1），令y=0时得出-x²+2x=0，求出A（0，0），B（2，0），由AD=BD=

2

，AD²+BD²=AB²=4，可判断△ABD是等腰直角三角形；
（2）令y=0时得出（x-m）²=1，由点B在点A的右边及点B在x轴的正半轴上，得出OB=m+1，令x=0时得出y=1-m²，由点C在y轴的负半轴上得出OC=m²-1，根据△BOC为等腰三角形得出OB=OC，依此列出方程m²-1=m+1，解方程即可．

解答：解：（1）将m=1代入y=-（x-m）²+1，
得y=-（x-1）²+1，即y=-x²+2x，
顶点D（1，1）．
令y=0，得-x²+2x=0，解得x=0或2，
所以A（0，0），B（2，0），
∵AD²=（1-0）²+（1-0）²=2，BD²=（1-2）²+（1-0）²=2，AB=2，
∴AD=BD=

2

，AD²+BD²=AB²=4，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）存在某个m的值，使得△BOC为等腰三角形．
∵当y=0时，-（x-m）²+1=0，即（x-m）²=1，
∴x₁=m-1，x₂=m+1．
∵点B在点A的右边，
∴A（m-1，0），B（m+1，0）．
∵点B在x轴的正半轴上，
∴OB=m+1．
∵当x=0时，y=1-m²，点C在y轴的负半轴上，
∴OC=m²-1．
当△BOC为等腰三角形时，OB=OC，
∴m²-1=m+1，
整理得m²-m-2=0，
解得m=2或m=-1（因为对称轴在y轴的右侧，m＞0，所以不合要求，舍去），
故存在△BOC为等腰三角形的情形，此时m=2．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，等腰直角三角形的判定与性质，难度中等．