Question

两个全等的含有30°，60°角的三角尺ADE与三角尺ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．
（1）求证：△EDM≌△CAM；
（2）求证：△EMC为等腰直角三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）易证△ABD是等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一，得出AM⊥BD，得出∴∠DAM=∠MAB=∠ABM=∠ADM=45°，DM=MA=MB，进而求得∠EDM=∠MAC，然后根据SAS即可求得结论；
（2）根据△EDM≌△CAM，得出∠EMD=∠AMC，EM=CM，根据∠AMD=∠EMD+∠AME=90°，推出∠EMC=∠AMC+∠AME=90°，即可证得：△EMC为等腰直角三角形

解答：解：（1）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∵∠DAE=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°
∴三角形ABD是等腰直角三角形，
∵DM=BM，
∴AM⊥BD，
∴∠DAM=∠MAB=∠ABM=∠ADM=45°，DM=MA=MB，
∵∠ADE=∠BAC=60°，
∴∠EDM=∠MAC=60°+45°，
在△EDM与△CAM中

DE=AC ∠EDM=∠MAC DM=AM

∴△EDM≌△CAM（SAS）；

（2）∵△EDM≌△CAM，
∴∠EMD=∠AMC，EM=CM，
∵∠AMD=∠EMD+∠AME=90°，
∴∠EMC=∠AMC+∠AME=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，

点评：本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．