Question

【题目】如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，过⊙O外一点P作PO⊥AB，垂足为点C，且交⊙O于点N，PO的延长线交⊙O于点M，连接BM、AD、AP．

（1）求证：PM∥AD；

（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；

（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为5

【解析】

（1）由圆周角定理推出同位角相等，即可证明；

（2）根据切线的判定定理，证明即可；

（3）连接，根据正切的意义设未知数表示MC、CM，证明∽，进而用未知数表示NC、OM、OC，建立半径与未知数之间的数量关系，根据OC是△BAD的中位线得OC=AD=3，从而求出未知数，进而求出OM．

（1）证明：∵是直径，

∴，

∵，

∴，

∴PM∥AD；

（2）证明：如图1，连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是半径，

∴是⊙O的切线；

（3）如图2，连接，则，

∵，

∴，

设，，

∵是⊙O直径，，

∴，

∴，

∴∽，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是的中点，是的中点，，

∴，

解得：，

∴，

∴⊙O的半径为5．