Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝AB，点E在BC上，以BE为直径的⊙O经过点A，点D是直径BE下方半圆的中点，AD交BC于点F，且∠B＝2∠D．

（1）求∠B的度数；

（2）求证：AC为⊙O的切线；

（3）连接DE，若OD＝3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠B＝30°；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）先判断出∠BAO+∠DAO＝45°，再判断出∠DAO＝∠D，∠BAO＝∠B，即可得出结论；

（2）先求出∠C＝30°，∠AOC＝60°，即可得出结论；

（3）先求出AE＝3，再计算出CF，进而求出EF，最后判断出△DEF∽△DAE，即可得出结论．

解：（1）如图1，连接OA，

∵点D是直径BE下方半圆的中点，

∴，

∴∠BOD＝∠EOD＝90°，

∴∠BAD＝∠BOD＝45°，

∴∠BAO+∠DAO＝45°，

∵OA＝OB＝OD，

∴∠DAO＝∠D，∠BAO＝∠B，

∴∠B+∠D＝45°，

∵∠B＝2∠D，

∴∠B＝30°；

（2）由（1）知，∠B＝30°，

∵AC＝AB，

∴∠C＝∠B＝30°，

∴∠AOC＝2∠B＝60°，

∴∠CAO＝180°﹣∠C﹣∠CAO＝90°，

∵OA为⊙O的半径，

∴AC为⊙O的切线；

（3）如图2，连接OA，AE，则∠BAE＝90°，

在Rt△ACO中，∠CAO＝90°，∠C＝30°，AO＝OE＝DO＝3，

∴AC=AO=3，OC＝2AO＝6，

∴CE＝OC﹣OE＝3，

∴CE＝OE＝3，

由（2）知，∠CAO＝90°，

∴AE＝OC＝3，

∵∠CAO＝∠COD＝90°，∠OAD＝∠ODA＝∠B＝15°，

∴∠CAF＝∠OFD＝75°，

∵∠CFA＝∠OFD，

∴∠CAF＝∠CFA，

∴CF＝AC＝3，

∴EF=CF-CE=3

连接DE，

∴∠DEF＝∠BAD＝45°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，

∴∠DEF＝∠DAE，

∵∠EDF＝∠ADE，

∴△EDF∽△ADE，

∴．