Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B．

（1）求证：PE是⊙O的切线；

（2）连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG；

（3）若tan∠P＝，试求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）连接OE，由圆周角定理证得∠EAB+∠B＝90°，可得出∠OAE＝∠AEO，则∠PEA+∠AEO＝90°，即∠PEO＝90°，则结论得证；

（2）连接OD，证得∠AOD＝∠AGF，∠B＝∠AEF，可得出∠PEF＝2∠B，∠AOD＝2∠B，可证得∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，则结论得证；

（3）可得出tan∠P＝tan∠ODF＝，设OF＝5x，则DF＝12x，求出AE，BE，得出，证明△PEA∽△PBE，得出，过点H作HK⊥PA于点K，证明∠P＝∠PAH，得出PH＝AH，设HK＝5a，PK＝12a，得出PH＝13a，可得出AH＝13a，AG＝10a，则可得出答案．

解：（1）证明：如图1，连接OE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB+∠B＝90°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠AEO，

∴∠B+∠AEO＝90°，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEA+∠AEO＝90°，

∴∠PEO＝90°，

又∵OE为半径，

∴PE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接OD，

∵D为的中点，

∴OD⊥AC，设垂足为M，

∴∠AMO＝90°，

∵DE⊥AB，

∴∠AFD＝90°，

∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°，

∴∠AOD＝∠AGF，

∵∠AEB＝∠EFB＝90°，

∴∠B＝∠AEF，

∵∠PEA＝∠B，

∴∠PEF＝2∠B，

∵DE⊥AB，

∴，

∴∠AOD＝2∠B，

∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF，

∴HE＝HG；

（3）解：如图3，

∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO，

∴∠P＝∠ODF，

∴tan∠P＝tan∠ODF＝，

设OF＝5x，则DF＝12x，

∴OD＝＝13x，

∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x，

∵DE⊥OA，

∴EF＝DF＝12x，

∴AE＝＝4x，BE＝＝6x，

∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE，

∴△PEA∽△PBE，

∴，

∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°，

∴∠HEG＝∠HGE，

∴∠P＝∠FAG，

又∵∠FAG＝∠PAH，

∴∠P＝∠PAH，

∴PH＝AH，

过点H作HK⊥PA于点K，

∴PK＝AK，

∴，

∵tan∠P＝，

设HK＝5a，PK＝12a，

∴PH＝13a，

∴AH＝13a，PE＝36a，

∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a，

∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a，

∴．