Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC，A（-4，0），B（0，2）

（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，BC交x轴于点M，AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：∠AMB=∠CMN；
（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）找到G点使得MG=MN，分别求得M，N的坐标，可以求得BG=CN，即可求得△CMN≌△BMG，根据全等三角形对应角相等即可解题；
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=

1

2

AO，即可解题．

解答：解：（1）作CD⊥BO，

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中，

∠BOA=∠BDC=90° ∠CBD=∠BAO AB=BC

，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=AO=4，CD=BO=2，
∴C点坐标（2，-2）；
（2）找到G点使得MG=MN，

∵直线BC经过B（0，2），C（2，-2），设直线BC解析式为y=kx+b，
代入B、C得直线BC解析式为y=-2x+2，
∴M点坐标为（1，0）
∵直线AC经过A（-4，0），C（2，-2），设直线AC解析式为y=kx+b，
代入A、C得直线BC解析式为y=-

1

3

x-

4

3

，
∴N点坐标为（0，-

4

3

），
∴RT△OMN中，MN=

OM2+ON2

=

5

3

，
∵MG=MN，∴G点坐标为（-

2

3

，0）
∴GB=CN，
在△CMN和△BMG中，

BM=CM MG=MN CN=BG

，
∴△CMN≌△BMG（SSS），
∴∠AMB=∠CMN；
（3）作EG⊥y轴，

∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°，
∴∠BAO=∠EBG，
在△BAO和△EBG中，

∠AOB=∠BGE=90° ∠BAO=∠EBG AB=BE

，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG=AO，EG=OB，
∵OB=BF，
∴BF=EG，
在△EGP和△FBP中，

∠EPG=∠FPB ∠EGP=∠FBP=90° EG=BF

，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB=PG，
∴PB=

1

2

BG=

1

2

AO=2．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．