Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC=20厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，如果点P从点B出发沿B-C-A以3厘米/秒的速度运动，点Q在从点C出发沿C-A-B运动，PQ两点同时运动，同时停止，运动时间为t秒．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD和△CQP是否全等，请说明理由．
（2）当t为何值时，直线PD将△ABC的周长分成两部分，使其中一部分的长度是另一部分长度的3倍？
（3）当点Q以2厘米/秒的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，求经过多长时间，点P追上点Q．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）由题意可知2秒后BP=6，则PC=16-6=10，且BD=10，CQ=6，且∠B=∠C，可知△BPD≌△CQP；
（2）由条件可知BD+BP=3（AD+AC+CP）或3（BD+BP）=AD+AC+CP，代入得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）由条件可知3t-2t=BC=16，求得t即可．

解答：解：（1）全等，理由如下：
由题意可知2秒后BP=CQ=6cm，
∵D为AB中点，
∴BD=

1

2

AB=10cm，且PC=BC-BP=16-6=10（cm），
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中

BD=CP ∠B=∠C BP=CQ

∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）由条件可知AD=BD=10cm，AC=20cm，
BP=3tcm，CP=16-3t（cm），
当BD+BP=3（AD+AC+CP）时，则有10+3t=3（10+20+16-3t），解得t=

32

3

，
当3（BD+BP）=AD+AC+CP时，则有3（10+3t）=10+20+16-3t，解得t=

4

3

，
综上可知当t为

4

3

s或

32

3

s时，直线PD将△ABC的周长分成两部分，使其中一部分的长度是另一部分长度的3倍；
（3）设经过ts后P追上Q点，根据题意可得3t-2t=16，解得t=16s，
即经过16s后P点追上Q点．

点评：本题主要考查全等三角形的判定及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想的应用．用时间表示出线段的长度，化动为静是解决这类问题的基本思路．