Question

已知△ABC中，BC=8，AD是BC上的高，AD=12，E、F分别在AB、AC上滑动（不与点B、C重合），且EF∥BC，以EF为一边作△ABC的内接矩形EFGH．求：
（1）EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1：2？
（2）EF在什么位置时，矩形EFGH是正方形？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）设AD和EF交于点P，EF=x，EH=y，则AP=AD-DP=AD-EH=12-y，由平行可得

AP

AD

=

EF

BC

，代入可得到x和y的关系式，再分y=2x和x=2y代入可求得y的值，可知EF的位置；
（2）当为正方形时，可知x=y，代入（1）中的关系式可求得x的值，可得出EF的位置．

解答：解：（1）如图，设AD和EF交于点P，EF=x，EH=y，则AP=AD-DP=AD-EH=12-y，

∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥BC，
∴

AP

AD

=

EF

BC

，即

12-y

12

=

x

8

，
整理可得3x+2y=24，
当x：y=1：2即y=2x时，代入上式可求得y=

48

7

，
当x：y=2：1即x=2y时，代入上式可求得y=3，
即当EF距BC距离为3或

48

7

时，矩形EFGH的邻边之比为1：2；
（2）当矩形EFGH为正方形时，可知x=y，代入3x+2y=24，
解得y=4.8，即当EF距BC距离为4.8时，矩形EFGH为正方形．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例及矩形、正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键．注意方程思想的应用．