Question

如图，梯形ABCD，AB与CD平行，∠BCD=2∠D=2α，∠CEF=∠B，
（1）用α表示∠CEF=

 

；
（2）当AB=BC时，猜想EC、EF的数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠B+∠BCD=180°，而∠BCD=2α，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明A、E、C、F四点共圆，进而证明∠ECF=∠EFC，问题即可解决．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，而∠BCD=2α，
∴∠CEF=∠B=180°-2α．
（2）猜想：EC=EF．证明如下：
如图，连接AC，CF；
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD；而AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=β，
∴∠BCA=∠ACD=β，
即∠BCD=2∠ACD，而∠BCD=2∠D，
∴∠ACD=∠D=β；
由三角形的内角和定理得：∠B=∠CAD=180°-2β，
而∠CEF=∠B，
∴∠CEF=∠CAF，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠EFC=∠BAC=β，∠ECF+∠A=180°；
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠ECF=∠D=β，
∴∠ECF=∠EFC，
∴EC=EF．

点评：该题以梯形为载体，以平行线的性质、等腰三角形的判定、四点共圆的判定及其应用等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．