Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在线段AB上取一点D，过D作DE⊥AB交AC于E，过E作EF⊥DE交BC于F，过F作FG⊥EF交AB于G，得到矩形DEFG．
（1）设AD=x，用x表示DE、BG．
（2）设矩形DEFG的面积为y，当x取何值时，y最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）直接运用直角三角形的边之间的关系即可解决问题．
（2）用含有x的代数式表示出线段DG的长度，借助矩形的面积公式问题即可解决．

解答：解：（1）由题意得：
tan∠A=

BC

AC

=

DE

AD

=

4

3

，AD=x，
∴DE=

4

3

x．
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE=

4

3

x；
又∵tan∠B=

GF

BG

=

AC

BC

=

3

4

，
∴BG=

16

9

x．
即DE、BG的长分别为

4

3

x，

16

9

x．
（2）由勾股定理得：
AB²=3²+4²=25，
∴AB=5，DG=5-x-

16

9

x=5-

25

9

x
∴S矩形DEFG=DE•DG=

4

3

x•(5-

25

9

x)
=-

100

27

x2+

20

3

x，
∴当x=

9

10

，y取得最大值，y的最大值为3．

点评：该题以矩形为载体，以考查相似三角形的判定及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．