Question

如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF．
（1）当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF=CD；
（2）当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由；
（3）只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为

 

（不必证明）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）由三角形ABC与三角形EBF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对角相等，两对边相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABE与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF，由AC=AE+EC，等量代换即可得证；
（2）CE=CF+CD，理由为：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，如图所示，由DG与AB平行，利用两直线平行同位角相等，确定出三角形GDC为等边三角形，再由三角形EDF为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EGD与三角形FCD全等，利用全等三角形对应边相等得到EG=FC，由EC=EG+GC，等量代换即可得证；
（3）CF=CE+CD，理由为：过D作DG∥AC，交FC于点G，同（2）即可得证．

解答：（1）证明：如图2：
∵△ABC与△BEF都为等边三角形，
∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC=CD，EB=BF，
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC，即∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，

AB=BC ∠ABE=∠CBF EB=FB

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF，
则CD=AC=AE+EC=FC+EC；
（2）CE=CF+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AB，交AC于点G，连接CF，

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG为等边三角形，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，
∴∠EDF-∠GDF=∠GDC-∠GDF，即∠EDG=∠FDC，
在△EDG和△FDC中，

ED=FD ∠EDG=∠FDC DG=DC

，
∴△EDG≌△FDC（SAS），
∴EG=FC，
则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；
（3）CF=CE+CD，理由为：
证明：过D作DG∥AC，交FC于点G，

∵GD∥AC，
∴∠GCD=∠DGC=60°，即△GCD为等边三角形，
∵△EDF为等边三角形，
∴∠EDF=∠GDC=60°，
∴∠EDF-∠DEG=∠GDC-∠EDG，即∠FDG=∠EDC，
在△ECD和△FGD中，

ED=FD ∠EDC=∠FDG CD=GD

，
∴△ECD≌△FGD（SAS），
∴EC=FG，
则FC=FG+GC=EC+CD．
故答案为：（3）CF=CE+CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．