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【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2ABAD,我们称该四边形为可分四边形,∠DAB称为可分角

1)如图2,四边形ABCD可分四边形,∠DAB可分角,求证:DAC∽△CAB

2)如图2,四边形ABCD可分四边形,∠DAB可分角,如果∠DCB=∠DAB,则∠DAB °

3)现有四边形ABCD可分四边形,∠DAB可分角,且AC4BC2,∠D90°,求AD的长.

【答案】(1)见解析;(2)120°;(3)

【解析】

1)先判断出,即可得出结论;
2)由已知条件可证得△ADC∽△ACB,得出D=4,再由已知条件和三角形内角和定理得出∠1+21=180°,求出∠1=60°,即可得出∠DAB的度数;
3)由已知得出AC2=ABAD,∠DAC=CAB,证出△ADC∽△ACB,得出∠D=ACB=90°,由勾股定理求出AB,即可得出AD的长.

1)证明:∵四边形ABCD可分四边形,∠DAB可分角

AC2ABAD

∵∠DAB可分角

∴∠CAD=∠BAC

∴△DAC∽△CAB

2)解:如图所示:

AC平分∠DAB

∴∠1=∠2

AC2ABAD

ADACACAB

∴△ADC∽△ACB

∴∠D=∠4

∵∠DCB=∠DAB

∴∠DCB=∠3+421

∵∠1+D+3=∠1+4+3180°

∴∠1+21180°

解得:∠160°

∴∠DAB120°

故答案为:120

3)解:∵四边形ABCD可分四边形,∠DAB可分角

AC2ABAD,∠DAC=∠CAB

ADACACAB

∴△ADC∽△ACB

∴∠D=∠ACB90°

AB

AD .

故答案为.

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