Question

2．如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，B、E、C、G在一直线上，△DHE的面积的最小值是$\frac{27}{8}$a²．

Answer 1

分析 设BE=x，△DHE的面积为y，通过三角形DHE的面积=三角形CDE的面积+梯形CDHG的面积-三角形EGH的面积，得出关于x，y的函数关系式，然后根据函数的性质求出y取最小值时x的值，并求出此时y的值．

解答 解：设BE=x，△DHE的面积为y，
依题意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH，
=$\frac{1}{2}$×3a×（3a-x）+$\frac{1}{2}$×（3a+x）×x-$\frac{1}{2}$×3a×x，
=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$ax+$\frac{9}{2}$a²，
y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$ax+$\frac{9}{2}$a²=$\frac{1}{2}$（x-1.5a）²+$\frac{27}{8}$a²，
当x=1.5a，即BE=$\frac{1}{2}$BC，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为$\frac{27}{8}$a²．
故答案为：$\frac{27}{8}$a²．

点评 本题主要考查了正方形的性质，二次函数的综合应用等知识点，正确得到x和y的二次函数关系式是解题关键．