Question

【题目】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.由锐角三角函数的知识可知PC=PE，然后通过证明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性质求解即可.

解：连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.

当x=0时，y=3,

∴C(0,3).

当y=0时，

0=-x2+2x+3，

∴x1=3，x2=-1，

∴A（-1，0）、B（3，0），

∴OA=1，OC=3，

∴AC=，

∵二次函数y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,

∴D(1,0),

∴点A与点D关于y轴对称，

∴sin∠ACO=，

由对称性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD= AC=，

∴sin∠OCD=，

∵sin∠OCD=，

∴PC=PE，

∵PA=PD，

∴PC+PD=PE+PA，

∵∠CDO=∠ADE, ∠COD=AED,

∴△CDO∽△AED,

∴,

∴,

∴；

故答案为.