Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在BC上方的抛物线上，是否存在点E，使得△BCE的面积最大？若存在，求出点E的坐标和△BCE的面积最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标有四个，分别是（1，0）或（1，6）或（1， ）或（1，﹣）；（3）△BCE的面积最大为，此时E（， ）．

【解析】

（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+mx+n，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，可分两种情况讨论：①PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；

（3）设E（x，-x2+2x+3），过E作EF∥y轴，交直线BC于点F，交x轴于N，过C作CM⊥EF于M，根据S△BCE=S△CEF+S△BEF即可得出△BCE的面积关于x的函数关系式，进而求得E的坐标和△BCE的面积最大值．

（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+mx+n，

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴对称轴为直线x＝1，

∴D（1，0）．

设点P的坐标为（1，t），

∵C（0，3），

∴CD2＝12+32＝10．

当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，可分两种情况讨论：

①若PC＝CD，则12+（t﹣3）2＝10，解得t＝0或6，

所以点P的坐标为（1，0）或（1，6）；

②若PD＝CD，则t2＝10，解得t＝±，

所以点P的坐标为（1，）或（1，﹣）；

综上所述，点P的坐标有四个，分别是（1，0）或（1，6）或（1，）或（1，﹣）；

（3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），

设直线BC的解析式为：y＝kx+b，

把B（3，0）、C（0，3）代入得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．

如图，过E作EF∥y轴，交直线BC于点F，交x轴于N，过C作CM⊥EF于M，

设E（x，﹣x2+2x+3），则F（x，﹣x+3），

∴EF＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x（0＜x＜3），

∵S△BCE＝S△CEF+S△BEF

＝EFCM+EFBN

＝EF（CM+BN）

＝EFOB

＝×3（﹣x2+3x）

＝

＝，

∴当x＝时，△BCE的面积最大为，此时E（，）．