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10.把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处,又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过61次旋转后,顶点O经过的总路程为$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π.

分析 第一次以A为圆心OA为半径的弧长,旋转了90°,第二次以B1为圆心,正方形的对角线为半径,旋转角为90°,第三次以B1为圆心,OA长为半径,旋转90°,第四次以O为旋转中心,此时O点没有运动,四次后O点又回到初始状态的相对位置,四次一循环,再利用弧长的计算公式分别计算即可.

解答 解:由题意可知每旋转四次O点经过的路程为:$\frac{1}{4}$×2π+$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{2}$π+$\frac{1}{4}$×2π=(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)π,
∵经过61次旋转,顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长,
∴经过61次旋转后,顶点O经过的总路程=(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)π×15+$\frac{1}{2}$π=$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π.
故答案为$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π.

点评 本题考查了旋转变换的性质,正方形的性质以及弧长的计算,读懂题意,确定出前四次O点经过的路线是解题的关键,注意规律的寻找.

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