Question

由于发生大洪水，需要加固一段大堤，计划使大堤加宽1m，使坡度由原来的1：2变成1：3．已知原来BC=12m，堤长100m，那么需要砂石和土多少立方米？

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：增加部分的截面为梯形ABCD，需要计算梯形ABCD的面积，依题意过C作CE⊥AB，垂足为E，设CE=x，则BE=2x，过D作DF⊥AB，垂足为F，则DF=CE=x，AF=3x，在Rt△CEB中，∠BEC=90°，由勾股定理求DE，BE，再利用AB=AF-BF=AF-（BE-EF）=3x-（2x-1）=x+1，求AB，根据梯形面积公式求S_梯形ABCD，由堤长100米求土方数．

解答：解：过C作CE⊥AB，垂足为E，设CE=x，则BE=2x，过D作DF⊥AB，垂足为F，则DF=CE=x，AF=3x，
∴AB=AF-BF=AF-（BE-EF）=3x-（2x-1）=x+1，
∵在Rt△CEB中，∠BEC=90°，BC=12，
∴x²+（2x）²=12²，得：x=

12 5

5

，
∴CE=

12 5

5

，AB=

12 5

5

+1，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（1+

12 5

5

+1）×

12 5

5

=

72

5

+

12 5

5

，
∴需沙石和土：V=（

72

5

+

12 5

5

）×100=1440+240

5

（m³）．
答：需要砂石和土（1440+240

5

）立方米．

点评：本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．关键过梯形上底的两个端点作梯形的高，将问题转化为解直角三角形的知识解题．