Question

【题目】已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，点A，B分别是射线OM，OE，上的动点（A，B不与点O重合），点D是线段OB上的动点，连接AD并延长交射线ON于点C，设∠OAC=x，

（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是；
②当∠BAD=∠ABD时，x=；
当∠BAD=∠BDA时，x=；
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ABD中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）18°,126°,63°
（2）解：如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

①当AC在AB左侧时：

若∠BAD=∠ABD=72°，则∠OAC=90°﹣72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°﹣72°）÷2=54°，则∠OAC=90°﹣54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，则∠BAD=36°，故∠OAC=90°﹣36°=54°；

②当AC在AB右侧时：

∵∠ABE=108°，且三角形的内角和为180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=（180°﹣108°）÷2=36°，则∠OAC=90°+36°=126°．

综上所述，当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角．

【解析】解：（1）如图1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=∠BON=18°，

∵AB∥ON，

∴∠ABO=18°；②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°﹣18°×3=126°；③当∠BAD=∠BDA时，∵∠ABO=18°，

∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，

∴∠OAC=180°﹣18°﹣18°﹣81°=63°，
（2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．

∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，

∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，

①当AC在AB左侧时：

若∠BAD=∠ABD=72°，则∠OAC=90°﹣72°=18°；

若∠BAD=∠BDA=（180°﹣72°）÷2=54°，则∠OAC=90°﹣54°=36°；

若∠ADB=∠ABD=72°，则∠BAD=36°，故∠OAC=90°﹣36°=54°；

②当AC在AB右侧时：

∵∠ABE=108°，且三角形的内角和为180°，

∴只有∠BAD=∠BDA=（180°﹣108°）÷2=36°，则∠OAC=90°+36°=126°．

综上所述，当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角．

所以答案是：（1）①18°；②126°；③63°；（2）当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角.
【考点精析】关于本题考查的平行线的性质，需要了解两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补才能得出正确答案．