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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,连接AE、BD.
(1)线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系?说明你的理由.
(2)如果△ABC的面积为5cm2 , 求四边形ABDE的面积.
(3)当∠ACB为多少度时,四边形ABDE为矩形?说明你的理由.

【答案】解:(1)∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称,
∴AC=CD,BC=CE,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE与BD平行且相等;
(2)∵四边形ABDE是平行四边形,
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE
∵△ABC的面积为5cm2
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2
(3)∠ACB=60°时,四边形ABDE为矩形.
理由如下:∵AB=AC,∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AD=2AC,BE=2BC,
∴AD=BE,
∴四边形ABDE为矩形.
【解析】(1)根据中心对称的性质可得AC=CD,BC=CE,然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形,再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答;
(2)根据平行四边形的性质,对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答;
(3)∠ACB=60°.先判断出△ABC是等边三角形,根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC,然后求出AD=BE,再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用中心对称及中心对称图形的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称;如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合,那么我们就说,这个图形成中心对称图形.

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