Question

13．如图，点A在x轴正半轴上，点B（4，m）在直线$y=\frac{1}{2}x$上，∠OBA=90°，BE∥x轴，交y轴于点E，C为OB中点，反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的一支经过点C，且与直线BE交于点D．
（1）k=2，直线AB的函数表达式为y=-2x+10；
（2）连结DC并延长，交x轴于点F，连结OD、BF，试判断四边形OFBD的形状并说明理由；
（3）M为直线AB上一点，若△BCM与△BOA相似，写出M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将B（4，m）代入直线y=$\frac{1}{2}$x，求得m的值，从而可求得点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，由相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积为-1可求得直线AB的一次项系数，然后由点B的坐标可求得AB的解析式；
（2）由题意可知BD∥OF，由平行线分线段成比例定理可知DC=CF，然后依据平行四边形的判定定理可知四边形OFBD为平行四边形；
（3）CM∥OA或$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{BM}$时，△OBA∽△MBC，依据相似三角形的性质可求得点M的坐标，然后做出点M关于OB的对称点M′，由轴对称的性质可知△CBM′≌△BCM，故此△CBM′∽△OBA，然后依据中点坐标公式可求得点M′的坐标．

解答 解：（1）∵将B（4，m）代入直线$y=\frac{1}{2}x$得：m=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴B（4，2）．
∵C为OB中点，
∴C（2，1）．
∵将C（2，1），代入$y=\frac{k}{x}$得：k=xy=2．
∴k=2．
∵∠OBA=90°，
∴直线AB的一次项系数为-2．
设直线AB的解析式y=-2x+b，
∵将点B（4，2）代入得；-2×4+b=2，解得b=10，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10．
故答案为：2；y=-2x+10．
（2）四边形OFBD为平行四边形．
理由如下：
∵BD∥OF，OC=CB，
∴FC=CD
∴四边形OFBD为平行四边形．
∵B（4，2），D（1，2），E（0，2），
∴BD=3，OE=2，ED=1．
∴OD=$\sqrt{D{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴BD≠OD．
∴四边形OFBD不是菱形．
∵∠DOF≠90°，
∴四边形OFBD不是矩形．
∴四边形OFBD只是平行四边形．
（3）∵当-2x+10=0时，x=5，
∴点A的坐标为（5，0）．
如图1所示：当CM∥OA时．

∵CM∥OA，BC=OC，
∴CM=$\frac{1}{2}$OA=2.5．
∵点C的坐标为（2，1），
∴点M的坐标为（4.5，1）．
作点M关于直线OB的对称点M′．
∵∠OBA=90°，
∴点M′在直线AB上，且点B为MM′的中点．
∵点M与点M′关于OB对称，
∴△CBM′≌△BCM．
∴△CBM′∽△OBA．
设M′（x，y）．
∵B为MM′的中点，
∴$\frac{4.5+x}{2}$=4，$\frac{y+1}{2}$=2．
∴x=3.5，y=3．
∴点M′的坐标为（3.5，3）．
如图2所示：

∵B（4，2）、C（2，1）、（5，0），
∴BC=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{（5-4）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵∠OBA=∠CBM，
∴当$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{BM}$时，△OBA∽△MBC．
∴$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{BM}$，解得MB=2$\sqrt{5}$．
∴A是BM的中点．
设点M的坐标为（x，y）则$\frac{x+4}{2}$=5，$\frac{y+2}{2}$=0．
解得：x=6，y=-2．
∴点M的坐标为（6，-2）．
作点M关于直线OB的对称点M′．
∵∠OBA=90°，
∴点M′在直线AB上，且点B为MM′的中点．
∵点M与点M′关于OB对称，
∴△CBM′≌△BCM．
∴△CBM′∽△OBA．
设M′（x，y）．
∵B为MM′的中点，
∴$\frac{x+6}{2}$=4，$\frac{y+（-2）}{2}$=2．
∴x=2，y=6．
∴点M′的坐标为（2，6）．
综上所述，点M的坐标为（4.5，1）或（3.5，3）或（6，-2）或（2，6）．

点评 本题主要考查的是反比例函数的综合应用，解答本题主要应用了反比例函数、一次函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定、轴对称的性质、相似三角形的判定、线段中点坐标公式，利用轴对称图形的性质和线段中点坐标公式求得点M′的坐标是解题的关键．