Question

18．如图，在△ABC中，∠C=45°，∠BAC=90°，点A为（$\sqrt{3}$，0）、点B为（0，1），坐标系内有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为（1，$\sqrt{3}$+1）、（2$\sqrt{3}$，-1）、（2$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）．

Answer 1

分析 根据题意得出符合的3种情况：①延长BA到P，使AB=AP；②过点C在点C的一侧作CP⊥AC，使CP=AB；③过点C在点C的另一侧作CP⊥AC，使CP=AB，画出图形，结合图形和全等三角形的性质求出每种情况即可．

解答 解：∵点A坐标为（$\sqrt{3}$，0）、点B坐标为（0，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2
∵∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，
△ABC与△ACP全等分为三种情况：
①如图1，延长BA到P，使AB=AP，连接CP，过P作PM⊥x轴于M，

则∠AOB=∠AMP=90°
在△AOB和△AMP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠AMP}\\{∠OAB=∠MAP}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴AM=AO=$\sqrt{3}$，MP=OB=1，
故点P的坐标为（2$\sqrt{3}$，-1）；
②如图2，过点C作CP⊥AC，使CP=AB，则△ABC≌△CPA，
故∠PAC=∠ACB=45°，AP=BC=2$\sqrt{2}$，
过P作PM⊥x轴于M，此时∠PAM=15°，在x轴上取一点N，使∠PNM=30°

∴∠PAM=∠APN=15°，即NA=NP，
设PM=x，则PN=AN=2x，NM=$\sqrt{3}$x，
在RT△APM中，∵AP²=AM²+PM²，
∴（2$\sqrt{2}$）²=（2x+$\sqrt{3}$x）²+x²，解得：x=$\sqrt{3}$-1，
则AM=OA+2x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$+1，
故点P的坐标为（2$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）；
③如图3，

作CP⊥AC，使CP=AB，连接BP，则△ABC≌△CPA，
∵∠BAC=∠PCA=90°，且CP=AB，
∴四边形ABPC是矩形，
∴AB=BP，∠ABP=90°，即∠ABO+∠PBM=90°，
过点P作PM⊥y轴，则∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠ABO=∠BPM，
在△AOB和△BMP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BMP}\\{∠ABO=∠BPM}\\{AB=BP}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM=OA=$\sqrt{3}$，PM=OB=1，
故点P的坐标为（1，$\sqrt{3}+1$）；
综上，点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$+1），（2$\sqrt{3}$，-1），（2$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、含30度角的直角三角形等知识点的应用，注意要进行分类讨论是解题的根本，不遗漏任何一种情况是关键．