Question

3．如图，在?ABCD中，AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，BG⊥AC于点G，DH⊥AC于点H，连接EH、HF、FG、GE，那么四边形EHFG是平行四边形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 首先根据平行四边形的性质可知：BO=DO，AO=CO，再证明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，根据全等三角形的性质可得：BE=DF，AG=CH，从而得到GO=HO，EO=FO，再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证出四边形GEHF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEB=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∴BO-BE=DO-DF，
即：EO=FO，
同理：△ABG≌△CDH，
∴AG=CH，
∴AO-AG=CO-CH，
即：GO=OH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
方法二：直接证明△BOG≌△DOH，△AOE≌△COF比较简单．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF，△ABG≌△CDH，证出BE=DF，AG=CH是解决此题的关键．