Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝7，点P是BC边上与点B不重合的动点，过点P的直线交CD的延长线于点R，交AD于点Q(点Q与点D不重合)，且∠RPC＝45°.设BP＝x，梯形ABPQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】y＝4x＋8(0<x<3)．

【解析】

由梯形面积公式S=(AQ+BP)×AB，设BP=x，AB=4，需求得AQ，又∠RPC=45，AQ=AD-QD，QD=RD=RC-CD=PC-CD，由此得出y与x之间的函数关系；对于自变量x的取值范围，求临界条件Q与D重合时，BP=x=3，又Q与D不重合，故x＜3．

如图，过点D作DP′∥PQ，交BC于点P′，

则∠DP′C＝∠RPC＝45°，

∴P′C＝CD＝4，∴BP′＝3.∴BP＜3.

∵BP＝x，∴PC＝7－x.

在Rt△PCR中，∠C＝90°，

∠RPC＝45°，

∴CR＝PC＝7－x.

∴QD＝RD＝CR－CD

＝7－x－4

＝3－x，

∴AQ＝AD－QD

＝7－(3－x)

＝4＋x.

∴y＝ (BP＋AQ)·AB

＝ (x＋4＋x)×4

＝4x＋8(0<x<3)．