Question

7．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为4+2$\sqrt{5}$，AD=2，则△ACO的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可．

解答 解：在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，
∴OB=2AD=4，
由周长为4+2$\sqrt{5}$，得到AB+AO=2$\sqrt{5}$，
设AB=x，则AO=2$\sqrt{5}$-x，
根据勾股定理得：AB²+OA²=OB²，即x²+（2$\sqrt{5}$-x）²=4²，
整理得：x²-2$\sqrt{5}$x+2=0，
解得x₁=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，x₂=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，
过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）（假设OA=$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$，若OA=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$，求出结果相同），
在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$），
∴k=-DE•OE=-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$DE•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
故选A．

点评 本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．