Question

如图，AD是∠CAB内的一条射线，P为AD上一点，且∠APB、∠APC都是钝角，∠B=∠C，BP=CP．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连结BC，求证：AD垂直平分BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）连接BC交AD于E，根据等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PCB，求出∠ABC=∠ACB，推出AB=AC，根据SAS推出△ABP≌△ACP，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CAD即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出即可．

解答：（1）证明：
连接BC交AD于E，
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△ABP和△ACP中

AB=AC ∠ABP=∠ACP PB=PC

∴△ABP≌△ACP，
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC；

（2）证明：∵AD平分∠BAC，AB=AC，
∴AD垂直平分BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．