Question

如图，延长等边△ABC的边AB到D，使BD=3，延长BC到E，使CE=4，延长CA到F，使AF=5，若△DEF的面积为

75

4

3

，求△ABC的边长．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,三角形的面积

专题：

分析：连接BF，CD，设△ABC的边长为x，面积为S，根据等边三角形的性质用x表示出S的值，再根据△ABC与△ACF等高可用S表示出△ACE的面积，同理可得出△AEF、△ABF、△BDF、△BDC、△CDE的面积，再根据△DEF的面积为

75

4

3

即可得出结论．

解答：解：连接BF，CD．
设△ABC的边长为x，面积为S，
∵△ABC是等边三角形，
∴S=

3

4

x²．
∵△ABC与△ACE同高，CE=4，
∴S_△ACE=

4

x

•S．
同理，△AEF与△ACE同高，
∴S_△AEF=

5

x

•S_△ACE=

5

x

•

4

x

•S，
∴S_△ABF=

5

x

•S，S_△BDF=

3

x

•S_△ABF=

3

x

•

5

x

•S，S_△BDC=

3

x

•S，S_△CDE=

4

x

•S_△BDC=

4

x

•

3

x

•S，
∴S_△DEF=S_△ABC+S_△ACE+S_△AEF+S_△ABF+S_△BDF+S_△BDC+S_△CDE=（1+

4

x

+

5

x

•

4

x

+

5

x

+

3

x

•

5

x

+

3

x

+

4

x

•

3

x

）S
=

12x+47+x2

x2

S
=

12x+47+x2

x2

•

3

4

x²=

75

4

3

，
解得x=2．
故△ABC的边长为2．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等高三角形是解答此题的关键．