Question

在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x²-3向右平移1个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）若顶点为M的抛物线与x轴的两个交点为D、C，试求线段DC的长．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）抛物线y=x²-3的顶点坐标为（0，-3），顶点向右平移一个单位后得到M点的坐标为（1，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²-3；再求x=0的函数值即可得到A点坐标；然后求自变量为3时的函数值即可得到B点坐标；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程（x-1）²-3=0即可得到C、D的坐标，然后计算两点之间的距离即可．

解答：解：（1）抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）²-3，则顶点M的坐标为（1，-3），
令x=0，则y=（0-1）²-3=-2，则点A的坐标为（0，-2），
当x=3时，y=（3-1）²-3=4-3=1，则点B坐标为（3，1）；
（2）令y=0，则（x-1）²-3=0，解得x₁=

3

+1，x₂=-

3

-1，则D（

3

+1，0），C（

3

-1，0），
所以DC=2

3

．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．