Question

已知AB是⊙O的直径．C是⊙O外的一点，过点C作CD切⊙O于点D．CF⊥AB于F．
（1）如图1，CF交AD于E，求证：CD=CE；
（2）如图2，若tan∠A=2，求sin∠DCF的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OD，先证出∠ODE+∠CDE=90°，∠A+∠AEF=90°，再证明∠CED=∠CDE，即可得出CD=CE；（2）连接OD，作OE⊥AD，AM⊥OD，由tan∠A=2，设OE=2k，AE=k，得出ED=k，AO=OD=

5

k，再根据△AOD的面积得出AM、OM，求出∠AOD=∠C，即可得出结论．

解答：解：（1）连接OD；如图1所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODE+∠CDE=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠A+∠AEF=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODE，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠A+∠CED=∠ODE+∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．
（2）连接OD，作OE⊥AD，AM⊥OD，垂足分别为E、M；如图2所示：
∵tan∠A=2，设OE=2k，AE=k，
则ED=k，AO=OD=

5

k；
∵

1

2

OD•AM=

1

2

AD•OE，
∴AM=

4 5

5

k，
∵∠OFC=∠ODC=90°，
∴∠C+∠FOD=180°，
∵∠AOD+∠FOD=180°，
∴∠AOD=∠C，
∴sin∠C=sin∠AOD=

AM

OA

=

4 5 5 k

5 k

=

4

5

．

点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识，运用切线的性质来进行论证或计算，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．