【题目】如图，以
为直径作半圆
，点
是半圆弧的中点，点
是
上的一个动点（点不与点
、重合），
交
于点
，延长
、
交于点
，过点作
，垂足为
.
（1）求证：
是
的切线；
（2）若的半径为1，当点运动到的三等分点时，求
的长.
【答案】（1）详见解析；（2）
或
【解析】
（1）连接
，根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°和等弧所对的弦相等可得：
，
，
，从而证出
≌
，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ACF和∠ACO，从而求出∠OCF，即可证出结论；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，再根据一个弧有两个三等分点分类讨论：情况一：当点
为靠近点
的三等分点时，根据三等分点即可求出
，再根据锐角三角函数即可求出CE，从而求出AE；情况二：当点为靠近点
的三等分点时，根据三等分点即可求出
，从而求出AP，再推导出∠PDE=30°，设
，用
表示出DE、CE和AE的长，从而利用勾股定理列出方程即可求出，从而求出AE.
（1）证明：连接
∵
为
的直径
∴
∴
根据同弧所对的圆周角相等可得，
又∵是
的中点
∴
∴
在与中
∴≌
∴
又∵
∴
平分
∴
∵，
为的中点
∴
平分
∴
∴
∴
∴为的切线
（2）证明：如图2
∵的半径为1
∴
又∵
，
∴
情况一：如图2
当点为靠近点的三等分点时
∵点是
的三等分点
∴
∴
在Rt△BCE中，
∴
情况二：如图3
当点为靠近点的三等分点时
∵点是的三等分点
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
，
∴
∴
∴
∴
设，则
∴
∴
又∵
∴
即
解出：
或
（应小于
，故舍去）
∴
综上所述：或
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
（1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图；
三个顶点的坐标分别为
，
，
（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形
；
（2）请画出关于点
成中心对称的图形
；
（3）若绕点
旋转可以得到，请直接写出点的坐标；
（4）在
轴上找一点
，使
的值最小，请直接写出点的坐标.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝ADAF，其中正确结论的个数是（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为
，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】一个三位自然数
（百位上的数字为
，十位上的数字为
，个位上的数字为
）. 若满足
，则称这个三位数为“和悦数”，并规定
. 如231，因为它的百位上的数字2与个位上的数字1之和等于十位上的数字3. 所以231是“和悦数”，所以
.
（1）请任意写出两个“和悦数”，并猜想任意一个“和悦数”是否是11的倍数，请说明理由；
（2）已知有两个十位上的数字相同的“和悦数”
，若
，求
的值.
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