【题目】如图,以为直径作半圆,点是半圆弧的中点,点是上的一个动点(点不与点、重合),交于点,延长、交于点,过点作,垂足为.
(1)求证:是的切线;
(2)若的半径为1,当点运动到的三等分点时,求的长.
【答案】(1)详见解析;(2)或
【解析】
(1)连接,根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°和等弧所对的弦相等可得:,,,从而证出≌,然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ACF和∠ACO,从而求出∠OCF,即可证出结论;
(2)先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC,再根据一个弧有两个三等分点分类讨论:情况一:当点为靠近点的三等分点时,根据三等分点即可求出,再根据锐角三角函数即可求出CE,从而求出AE;情况二:当点为靠近点的三等分点时,根据三等分点即可求出,从而求出AP,再推导出∠PDE=30°,设,用表示出DE、CE和AE的长,从而利用勾股定理列出方程即可求出,从而求出AE.
(1)证明:连接
∵为的直径
∴
∴
根据同弧所对的圆周角相等可得,
又∵是的中点
∴
∴
在与中
∴≌
∴
又∵
∴平分
∴
∵,为的中点
∴平分
∴
∴
∴
∴为的切线
(2)证明:如图2
∵的半径为1
∴
又∵,
∴
情况一:如图2
当点为靠近点的三等分点时
∵点是的三等分点
∴
∴
在Rt△BCE中,
∴
情况二:如图3
当点为靠近点的三等分点时
∵点是的三等分点
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵,
∴
∴
∴
∴
设,则
∴
∴
又∵
∴
即
解出:或(应小于,故舍去)
∴
综上所述:或
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【题目】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:AN∥EM.
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【题目】如图;三个顶点的坐标分别为,,
(1)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形;
(2)请画出关于点成中心对称的图形;
(3)若绕点旋转可以得到,请直接写出点的坐标;
(4)在轴上找一点,使的值最小,请直接写出点的坐标.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上的一点,且BF=3CF,连接AE、AF、EF,下列结论:①∠DAE=30°,②△ADE∽△ECF,③AE⊥EF,④AE2=ADAF,其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,抛物线与x轴的另一交点为B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(―3,6)、B(―9,一3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(―1,2)
B.(―9,18)
C.(―9,18)或(9,―18)
D.(―1,2)或(1,―2)
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【题目】一个三位自然数(百位上的数字为,十位上的数字为,个位上的数字为). 若满足,则称这个三位数为“和悦数”,并规定. 如231,因为它的百位上的数字2与个位上的数字1之和等于十位上的数字3. 所以231是“和悦数”,所以.
(1)请任意写出两个“和悦数”,并猜想任意一个“和悦数”是否是11的倍数,请说明理由;
(2)已知有两个十位上的数字相同的“和悦数”,若,求的值.
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