Question

【题目】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.

（1）求证：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠EMF=100°；（3）证明见解析.

【解析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；

（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC=40°，根据CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，从而可得∠CMD=2∠CBM，继而可得∠CME=2∠CBA=80°，根据邻补角的定义即可求得∠EMF的度数；

（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，结合CM=DM以及已知条件可得△DEM是等边三角形，从而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，继而可得∠ACM=75°，连接AM，结合AE=EM=MB，可推导得出AC=AM，根据N为CM中点，可得AN⊥CM，再根据CM⊥EM，即可得出AN∥EM.

（1）∵M为BD中点，

Rt△DCB中，MC=BD，

Rt△DEB中，EM=BD，

∴MC=ME；

（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°-50°=40°，

∵CM=MB，

∴∠MCB=∠CBM，

∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，

同理，∠DME=2∠EBM，

∴∠CME=2∠CBA=80°，

∴∠EMF=180°-80°=100°；

（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，

∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，

∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，

∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，

又∵CM=ME=BD=DM，

∴DE=EM=DM，

∴△DEM是等边三角形，

∴∠EDM=60°，

∴∠MBE=30°，

∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，

∵∠MCB+∠ACE=45°，

∠CBM+∠MBE=45°，

∴∠ACE=∠MBE=30°，

∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，

连接AM，∵AE=EM=MB，

∴∠MEB=∠EBM=30°，

∠AME=∠MEB=15°，

∵∠CME=90°，

∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM，

∴AC=AM，

∵N为CM中点，

∴AN⊥CM，

∵CM⊥EM，

∴AN∥CM.