Question

如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1）设PN=x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，并指出x的取值范围．
（2）当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：（1）根据矩形的对边平行可以得到△APN∽△ABC，然后用相似三角形对应高的比等于相似比，可以得出S与x的关系．
（2）根据矩形面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．

解答：解：（1）∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
∵QM=PN=x，MN=ED=y，AE=80-y，
∴

x

120

=

80-y

80

，
∴y=80-

2

3

x
∴S=xy=-

2

3

x²+80x；
80-

2

3

x＞0，
解得：x＜120，
则0＜x＜120；

（2）设矩形的面积为S，
则S=-

2

3

x²+80x=-

2

3

（x-40）²+2400．
故当x=40时，此时矩形的面积最大，最大面积为2400mm²．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与相似，利用矩形的面积公式得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质，确定x的取值和面积的最大值是解题关键．