Question

11．若想求cos15°的值，可先画Rt△ABC，使∠C=90°，∠BAC=30°，再延长CA到D，使DA=AB，连结BD．利用这些条件，你能否求出tan15°的值？

Answer 1

分析 先利用等腰三角形的性质得到∠D=∠ABD，再利用三角形外角性质可计算出∠D=15°，设BC=x，在Rt△ABC中，利用∠BAC的正弦求出AB=2x，则利用勾股定理计算出AC=$\sqrt{3}$x，则CD=（2+$\sqrt{3}$）x，然后在Rt△BDC中，利用正切的定义可计算出tan15°的值．

解答 解：∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC=∠D+∠ABD，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，
设BC=x，
在Rt△ABC中，∵sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$，
∴AB=$\frac{x}{sin30°}$=2x，
∴AC=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴CD=AD+DC=2x+$\sqrt{3}$x=（2+$\sqrt{3}$）x，
在Rt△BDC中，tan∠D=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$，
∴tan15°=2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活应用勾股定理和锐角三角函数的定义．