Question

【题目】定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；

（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．

（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；

（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；

（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．

①求出m的取值范围；

②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．

Answer 1

【答案】（1）是 “合作函数”，“合作点”为x＝2或x＝﹣4；（2）当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；（3）①﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②m＝2﹣或m＝﹣3+．

【解析】

(1)由于y＝x+2m与y＝都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作点”；

(2)假设是“合作函数”，可求“合作点”为x＝m+，再由|x|≤2，可得当﹣≤m≤时，是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，不是“合作函数”；

(3)①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，因为只有一个“合作点”则﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值为5+2m，当﹣3≤m＜1时，函数的对称轴﹣≤m+＜，此时当x＝5时有最大值m2﹣6m+16；当2＜m≤6时，对称轴＜m+≤，当x＝0时有最大值m2+4m﹣3；再由“共赢值”即可求m值．

解；(1)∵y＝x+2m是经过第一、第三象限的直线，y＝是经过第一、第三象限的双曲线，

∴两函数有公共点，

∴存在x取同一个值，使得y1＝y2，

∴函数y＝x+2m与y＝是“合作函数”；

当m＝1时，y＝x+2，

∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，

∴“合作点”为x＝2或x＝﹣4；

(2)假设函数y＝x+2m与y＝3x﹣1是“合作函数”，

∴x+2m＝3x﹣1，

∴x＝m+，

∵|x|≤2，

∴﹣2≤m+≤2，

∴﹣≤m≤，

∴当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；

(3)①∵函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，

∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），

∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，

∴x＝m+3或x＝m﹣1，

∵0≤x≤5时有唯一合作点，

当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，

当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，

∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6时，满足题意；

②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值为5+2m，

y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）的对称轴为x＝m+，

当﹣3≤m＜1时，则﹣≤m+＜，

当x＝5时有最大值，最大值为m2﹣6m+16，

∴5+2m+m2﹣6m+17＝24，

解得m＝2+或m＝2﹣，

∴m＝2﹣；

当2＜m≤6时，则＜m+≤，

当x＝0时有最大值，最大值为m2+4m﹣3，

∴5+2m+m2+4m﹣3＝24，

解得m＝﹣3+或m＝﹣3﹣，

∴m＝﹣3+；

综上所述：m＝2﹣或m＝﹣3+．