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【题目】如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连接CGBGBDDG,下列结论:

BECD

②∠DGF135°

③△BEG≌△DCG

④∠ABG+ADG180°

⑤若,则3SBDG13SDGF

其中正确的结论是_____.(请填写所有正确结论的序号)

【答案】①③④⑤

【解析】

①根据矩形的性质可得出∠BAD=ABC=90°AB=CD,再由角平分线的性质可得出∠BAE=45°,通过角的计算即可得出∠BAE=BEA,从而得出AB=BE=CD,即①正确;②根据平行线的性质以及对顶角相等可得出CEF为等腰直角三角形,由此得出∠CGF=90°,∠FCG=45°,根据三角形外角的性质可得出∠CGD45°,再由角的关系即可得出∠DGF=CGD+CGF135°,即②不正确;③通过角的计算可得出∠BEG=DCG,再根据等腰直角三角形的性质可得出CG=EG,由此即可利用全等三角形的判定定理(SAS)证出BEG≌△DCG,即③正确;④由③可得出∠EBG=CDG,根据角的计算即可得出∠ABG+ADG=180°,即④正确;⑤过点GGMDF于点M,设AB=2aa0),则AD=3a,利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式可算出SBDGSDGF的值,由此可得出⑤正确.综上即可得出结论.

解:①∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=∠ABC90°ABCD

AE是∠BAD的角平分线,

∴∠BAE=∠DAE45°

∴∠AEB90°﹣∠BAE45°=∠BAE

BEABCD,①正确;

②∵ABCD

∴∠CFE=∠BAE45°,∠CEF=∠AEB45°

∴△CEF为等腰直角三角形,

∵点GEF的中点,

CGEF,∠CGF90°,∠FCG45°

∵∠FCG=∠CGD+CDG45°

∴∠CGD45°

∴∠DGF=∠CGD+CGF45°+90°135°,②不正确;

③∵△CEF为等腰直角三角形,

CGEG

∵∠BEG180°﹣∠CEF135°,∠DCG180°﹣∠FCG135°

∴∠BEG=∠DCG

BEGDCG中,有

∴△BEG≌△DCGSAS),③正确;

④∵△BEG≌△DCG

∴∠EBG=∠CDG

∵∠ABG=∠ABC+EBG,∠ADG=∠ADC﹣∠CDG

∴∠ABG+ADG=∠ABC+ADC180°,④正确;

⑤过点GGMDF于点M,如图所示.

∴设AB2aa0),则AD3a

∵∠DAF45°,∠ADF90°

∴△ADF为等腰直角三角形,

DFAD3a

∵△CGF为等腰直角三角形,

GMCMCFDFCD)=a

SDGFDFGM×3a×a

SBDGSBCD+S梯形BGMCSDGM×2a×3a+×3a+a×a×a×2a+a)=

3SBDG13SDGF,⑤正确.

综上可知:正确的结论有①③④⑤.

故答案为:①③④⑤.

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