【题目】如图,顶点为的抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)问在轴上是否存在一点,使得为直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点,满足,过作轴于点,设的内心为,试求的最小值.
【答案】(1);(2)点坐标为或或或时,为直角三角形;(3)最小值为.
【解析】
(1)结合题意,用待定系数法即可求解;
(2)分3种情况讨论,用勾股定理即可求解;
(3)根据正方形的判定和勾股定理,即可得到答案.
(1)∵抛物线过点,,
∴,解得:,
∴这条抛物线对应的函数表达式为.
(2)在轴上存在点,使得为直角三角形.
∵,
∴顶点,
∴,
设点坐标为,
∴,,
①若,则.
∴,
解得:,
∴.
②若,则,
∴,
解得:,,
∴或.
③若,则,
∴,
解得:,
∴.
综上所述,点坐标为或或或时,为直角三角形.
(3)如图,过点作轴于点,于点,于点,
∵轴于点,
∴,
∴四边形是矩形,
∵点为的内心,
∴,,,,
∴矩形是正方形,
设点坐标为,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴化简得:,
配方得:,
∴点与定点的距离为.
∴点在以点为圆心,半径为的圆在第一象限的弧上运动,
∴当点在线段上时,最小,
∵,
∴,
∴最小值为.
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【题目】为增强学生环保意识,某中学举办了环保知识竞赛,某班共有5名学生(3名男生,2名女生)获奖.
(1)老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”,则恰好是男生的概率为 .
(2)老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”,请用画树状图法或列表法,求出恰好是一名男生、一名女生的概率.
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【题目】随着互联网、移动终端的迅速发展,数字化阅读越来越普及,公交、地铁上的“低头族”越来越多.某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查(问卷调查表如下图所示),并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图(均不完整).请根据统计图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的共有多少人?
(2)在接受调查的人当中,请求出选择“观点”的人数,并将条形统计图补充完整;
(3)在扇形统计图中,“观点”对应的圆心角为多少度?
(4)现在你是该研究机构的研究员,根据以上调查结果,你分别从选择“观点、观点、观点、观点的调查人员中,每项随机抽取1人,再从这4人中,任选2人进行个别座谈,请用列表法成树状图法求选取的两人恰好是选择“观点、观点”的概率.
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【题目】如图是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处双测P处,仰角分别为α、β,且tanα=,tanβ=,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系. P点坐标为_____;若水面上升1m,水面宽为_____m.
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【题目】为了解学生的课外阅读情况,七(1)班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查(每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目),并根据调查结果列出统计表,绘制成扇形统计图.
男、女生所选类别人数统计表
类别 | 男生(人) | 女生(人) |
文学类 | 12 | 8 |
史学类 | 5 | |
科学类 | 6 | 5 |
哲学类 | 2 |
根据以上信息解决下列问题
(1) , ;
(2)扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ;
(3)从选哲学类的学生中,随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛,请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.
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【题目】(1)阅读理解
如图,点,在反比例函数的图象上,连接,取线段的中点.分别过点,,作轴的垂线,垂足为,,,交反比例函数的图象于点.点,,的横坐标分别为,,.小红通过观察反比例函数的图象,并运用几何知识得出结论:AE+BG=2CF,CF>DF,由此得出一个关于,,之间数量关系的命题:若,则______.
(2)证明命题
小东认为:可以通过“若,则”的思路证明上述命题.
小晴认为:可以通过“若,,且,则”的思路证明上述命题.
请你选择一种方法证明(1)中的命题.
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【题目】某种机器在加工零件的过程中,机器的温度会不断变化.当机器温度升高至时,机器会自动启动冷却装置控制温度上升的速度;当温度升到时,机器自动停止加工零件,冷却装置继续工作进行降温;当温度恢复至时,机器自动开始继续加工零件,如此往复,机器从时开始,机器的温度()随时间(分)变化的函数图象如图所示.
(1)当机器的温度第一次从升至时,求与之间的函数关系式;
(2)冷却装置将机器温度第一次从降至时,需要多少分钟?
(3)机器的温度在以上(含)时,机器会自动发出鸣叫进行报警.当时,直接写出机器的鸣叫时间.
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点,其中点的坐标为,点的坐标为.
(1)根据图象,直接写出满足的的取值范围;
(2)求这两个函数的表达式;
(3)点在线段上,且,求点的坐标.
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