Question

7．如图，∠AOB的平分线OC与线段AB交于点C，点D在AO的延长线上，作射线OE使得OB平分∠DOE，OE交AB于点E．
（1）若点F在OB上，且∠EOF+∠EFB=180°，判断EF与AD是否平行，并说明理由；
（2）若OE恰好平分∠AOC，求∠AOC的度数；
（3）若点E只能落在线段AC上（不含点A，C），求∠AOC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论；
（2）由角平分线的性质和平角的定义可得结论；
（3）根据角平分线的性质和平角的定义即可得到结论．

解答 解：（1）EF∥AD，
理由；∵∠DOB=∠EOB，∠DOB+∠AOB=180°，
∵∠EOF+∠EFB=180°，
∴∠AOB=∠EFB，
∴EF∥AD；

（2）∵OB平分∠DOE，
∴∠DOB=∠BOE，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE，
设∠AOE=∠COE=α，则∠BOC=2α，∠DOB=∠BOE=3α，
∴α+3α+3α=180°，
∴α=$\frac{180}{7}$，
∴∠AOC=2α=（$\frac{360}{7}$）°

（3）当点E落在点A上，∵∠DOB=∠BOD，
∴∠DOB=∠BOA=90°，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOA=45°，
当点E落在点C上时，
∠AOC=∠BOC=∠BOD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∴若点E只能落在线段AC上（不含点A，C）时，∠AOC的取值范围是45°＜∠AOC＜60°．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．