Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是AC上一点，且BP平分∠ABC，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点P．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（1）若△ABP的面积-△BPC的面积=2，PC=1，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）连结OP，如图，由BP平分∠ABC得∠CBP=∠OBP，由OB=OP得∠OBP=∠OPB，则∠CBP=∠OPB，根据平行线的判定得OP∥BC，则利用平行线的性质得到∠APO=∠C=90°，于是可根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角形面积公式由△ABP的面积-△BPC的面积=2可得BC（PA-1）=4，即BC=$\frac{4}{PA-1}$，再根据平行线分线段成比例定理可推出$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，则AB=PA•BC，接着利用勾股定理有AB²=AC²+BC²，所以PA²•BC²=（AP+1）²+BC²，移项变形得到（AP+1）²=BC²（PA²-1），所以PA+1=BC²（PA-1），然后把BC=$\frac{4}{PA-1}$代入得到关于PA的方程，然后解方程即可．

解答 （1）证明：连结OP，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP=∠OBP，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB，
∴∠CBP=∠OPB，
∴OP∥BC，
∴∠APO=∠C=90°，
∴OP⊥AP，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵△ABP的面积-△BPC的面积=2，PC=1，
∴$\frac{1}{2}$AP•BC-$\frac{1}{2}$PC•BC=2，
∴BC（PA-1）=4，
∴BC=$\frac{4}{PA-1}$
∵OP∥BC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OP}{BC}$，$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AO}{OB}$
∴$\frac{AO}{OP}$=$\frac{AB}{BC}$，
而OP=OB，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AB}{BC}$，则AB=PA•BC，
∵AB²=AC²+BC²，
∴PA²•BC²=（AP+1）²+BC²，
∴（AP+1）²=BC²（PA²-1），
∴PA+1=BC²（PA-1），
∴PA+1=（$\frac{4}{PA-1}$）²•（PA-1），
∴PA=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行线分线段成比例定理．