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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.

(1)求二次函数的解析式;

(2)如图1,点M是线段BC上的一动点,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.设点D的横坐标为m.

①过点D作DM⊥BC于点M,求线段DM关于m的函数关系式,并求线段DM的最大值;

②若△CDM为等腰直角三角形,直接写出点M的坐标.

【答案】(1)y=x2x﹣2;(2)①DM=﹣,DM的最大值为;②M的坐标为()或(,﹣).

【解析】

1)由直线yx2B40)、C0,﹣2),将B40)、C0,﹣2)代入yx2+bx+c,列方程组求出bc即可;

2过点DHAB,交直线yx2于点H.则∠H=∠OBCOC2OB4BC2,由sinHsinOBC,即,设Dmm2m2),则Hm23mm2m2),DHm﹣(m23m)=﹣m2+4m,所以DM(﹣m2+4m)=﹣,当m2时,DM的最大值为

分两种情况:当CMDM时,过点MMEy轴于点E,点DDFy轴,交EM的延长线于点F;当CDDM时,过点DDEy轴于点E,点MMFy轴,交ED的延长线于点F,分别求出t的值即可.

解(1)由直线yx2

B40)、C0,﹣2),

B40)、C0,﹣2)代入yx2+bx+c

解得bc=﹣2

二次函数的解析式yx2x2

2过点DH∥AB,交直线yx2于点H

∴∠H∠OBC

∵B40)、C0,﹣2),

∴OC2OB4BC2

∴sin∠Hsin∠OBC

Dmm2m2),则Hm23mm2m2),

∴DHm﹣(m23m)=﹣m2+4m

∴DM(﹣m2+4m)=﹣

m2时,DM的最大值为

②Ⅰ.当CM⊥DM时,过点MME⊥y轴于点E,点DDF∥y轴,交EM的延长线于点F

∵△CDM为等腰直角三角形,易证△EMC≌△FDM

∴EMDFECMF

Mtt2),则EMtOE=﹣t+2

∴CEOCOE2﹣(﹣t+2)=tMFtDFt

EFEM+MFt+tOE+DF=﹣t+2+tt+2

∴Dt,﹣t2

Dt,﹣t2)代入二次函数的解析式yx2x2

解得t0(舍去)或t

∴M1);

.当CD⊥DM时,过点DDE⊥y轴于点E,点MMF∥y轴,交ED的延长线于点F

∵△CDM为等腰直角三角形,易证△CED≌△DFM

∴DEMFECDF

Mtt2),则EFtCEDEtMFtOCt+2

∴Dt,﹣t2),

Dt,﹣t2)代入二次函数的解析式yx2x2

解得t0(舍去)或t

∴M2,﹣

综上,△CDM为等腰直角三角形,点M的坐标为()或(,﹣).

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(1)这里采用的调查方式是__________

(2)求表中a、b、c的值,并请补全频数分布直方图;

(3)在调查人数里,等候时间少于40min的有人___________

(4)此次调查中,中位数所在的时间段是__________~__________min.

时间分段/min

频数/人数

频率

10~20

8

0.200

20~30

14

a

30~40

10

0.250

40~50

b

0.125

50~60

3

0.075

合计

c

1.000

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(1)连接AC

(2)AC的垂直平分线EF分别交BCADEF

(3)连接AECF

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求证:四边形AECF是菱形.

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1)直接写出表中mn的值;

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