Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P．

（1）求证：AC2＝ADAB．

（2）点E是∠ACB所对的弧上的一个动点（不包括A，B两点），连接EC交直径AB于点F，∠DAP＝64°．

①当∠ECB＝　 　°时，△PCF为等腰三角形；

②当∠ECB＝　 　°时，四边形ACBE为矩形．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）①45；②58．

【解析】

（1）先判断出∠ACD＝∠ABC，再利用直径所对的圆周角等于90度和垂直的定义判断出∠ADC＝∠ACB，进而判断出△ADC∽△ACB，即可得出结论；

（2）①先求出∠CAD＝32°，判断出∠CAP＞∠P，进而判断出CF≠CP，再求出∠BCP＝32°＞∠P，得出BP＞BC，进而判断出CF≠PF，最后用等腰三角形的性质即可得出结论；

②先判断出CE过点O，进而求出∠ACE，即可得出结论．

解：（1）∵CD是⊙O的切线，

∴∠ACD＝∠ABC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°＝∠ACB，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ABAD；

（2）①由（1）知，∠ACD＝∠ABC，

∵∠ACD+∠CAD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，

∴∠CAD＝∠BAC＝∠DAP＝32°，

∵∠P＝90°﹣∠DAP＝26°，

∴∠CAP＞∠P，

∴CP＞AC，

∵点F在直径AB上（且不和点A，B重合），

∴CF≠CP，

∵∠CAD＝32°，

∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝58°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCP＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝32°＞∠P

∴BP＞BC，

∵点F在直径AB上（且不和点A，B重合），

∴CF≠PF，

∵△PCF是等腰三角形，

∴PC＝PF，

∴∠PCF＝（180°﹣∠P）＝77°，

∴∠BCE＝∠PCF﹣∠BCP＝45°，

故答案为：45；

②如图，

∵四边形ACBE是矩形，

∴AB与CE互相平分，

∵点O是AB的中点，

∴点F和点O重合，

∴∠ACE＝∠CAB＝32°，

∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝58°，

故答案为：58．