【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点A(-3,4)、B(-3,0)、C(-1,0) .以D为顶点的抛物线y = ax2+bx+c过点B. 动点P从点D出发,沿DC边向点C运动,同时动点Q从点B出发,沿BA边向点A运动,点P、Q运动的速度均为每秒1个单位,运动的时间为t秒. 过点P作PE⊥CD交BD于点E,过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,四边形BDGQ的面积最大?最大值为多少?
(3)动点P、Q运动过程中,在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H,使以B,Q,E,H为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出此时菱形的周长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2-2x+3(2)当t =2时,四边形BDGQ的面积最大,最大值为2(3)存在, 或80-32
【解析】试题分析:(1)根据矩形的性质可以写出点D得到坐标;由顶点D的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x+1)2+4,然后将点B的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式)。(2)利用三角形相似△DPE∽△DBC可以求得点E的横坐标,再求出AF的长,将其代入抛物线求出点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=最后根据三角形的面积公式可以求得,S四边形BDGQ= S△BQG+S△BEG+S△DEG,由二次函数的最值可以解得t=2时,S△ACG的最大值为2;(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上。分CE是边和对角线两种情况讨论即可。
试题解析:
(1) 由题意得,顶点D点的坐标为(-1,4).
设抛物线的解析式为y=a (x+1) 2+4(a≠0),
∵抛物线经过点B(-3,0),代入y=a (x+1) 2+4
可求得a=-1
∴抛物线的解析式为y=- (x+1) 2+4
即y=-x2-2x+3.
(2)由题意知,DP=BQ = t,
∵PE∥BC,
∴△DPE∽△DBC.
∴=2,
∴PE=DP= t.
∴点E的横坐标为-1-t,AF=2-t.
将x =-1-t代入y=- (x+1) 2+4,得y=-t2+4.
∴点G的纵坐标为-t2+4,
∴GE=t2+4-(4-t)=-t2+t.
连接BG,S四边形BDGQ= S△BQG+S△BEG+S△DEG,
即S四边形BDGQ=BQ·AF+EG·(AF+DF)
=t(2-t)-t2+t.
=-t2+2t=- (t-2)2+2.
∴当t =2时,四边形BDGQ的面积最大,最大值为2.
(3)存在,
菱形BQEH的周长为或80-32.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,一张三角形ABC纸片,点D、E分别是△ABC边上两点. 研究(1):如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则∠BDA′与∠A的数量关系是
研究(2):如果折成图2的形状,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是
研究(3):如果折成图3的形状,猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如果将四根木条首尾相连,在相连处用螺钉连接,就能构成一个平面图形.
(1)若固定三根木条AB,BC,AD不动,AB=AD=2cm,BC=5cm,如图,量得第四根木条CD=5cm,判断此时∠B与∠D是否相等,并说明理由.
(2)若固定一根木条AB不动,AB=2cm,量得木条CD=5cm,如果木条AD,BC的长度不变,当点D移到BA的延长线上时,点C也在BA的延长线上;当点C移到AB的延长线上时,点A.C.D能构成周长为30cm的三角形,求出木条AD,BC的长度.
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