Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：

①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④4ac﹣b2＞8a其中正确的结论是_____．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当当﹣1＜x＜3时，y＞0；②设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，令x＝0得：y＝﹣3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），可知2＜﹣3a＜3；③由二次函数的最大值是y＝a+b+c，从而可知a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），④由＞2，a＜0，从而求得4ac﹣b2＜8a．

解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当﹣1＜x＜3时，y＞0，故①正确；

②设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，

令x＝0得：y＝﹣3a．

∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），

∴2＜﹣3a＜3．

解得：﹣1＜a＜﹣，故②正确；

③∵当x＝1时，函数有最大值，即a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），

∴a+b＞m（am+b），故③正确；

④∵＞2，a＜0，

∴4ac﹣b2＜8a，故④错误，

故答案为①②③．