Question

【题目】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），与y轴交于C（0，－2）；直线经过点A且与抛物线交于另一点B．

（1）直接写出抛物线的解析式 ；

（2）如图（1），点M是抛物线上A，B两点间的任一动点，MN⊥AB于点N，试求出MN的最大值 ，并求出MN最大时点M的坐标；

（3）如图（2），连接AC，已知点P的坐标为（2，1），点Q为对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，是否存在这样的点Q，使得∠FQP＝∠CAO．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－x－2 ；（2）；M（，）；（3）存在；（，）或（，）

【解析】

（1）把A，C两点坐标代入y＝x2＋bx＋c求出b，c的值即可；

（2）过点M作ME⊥x轴于点D，交AB于点E，设M(m，m2－m－2)，则E(m，m＋),可求出ME＝－m2＋m＋，证明△AED∽△MEN得MN＝－m2＋m＋，利用二次函数的性质可得结论；

（3）点Q有两个位置，使得∠FQP＝∠CAO，分别求出此时PQ的解析式，与抛物线方程联立方程组，求出方程组的解即为Q点的坐标.

解：（1）将A（-1,0），C（0，-2）代入解析中得

，解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2，

（2）如图，过点M作ME⊥x轴于点D，交AB于点E.

设M(m，m2－m－2) (－1≤m≤)，

则E(m，m＋),

ME＝(m＋)－(m2－m－2)＝－m2＋m＋.

在△AED与△MEN中，∠AED＝∠MEN，∠ADE＝∠MNE，

∴△AED∽△MEN，

∴，

∴MN＝ME＝(－m2＋m＋)＝－m2＋m＋ (－1≤m≤)，

∴当时，MN最大，为，

此时M（，）.

（3）存在，

由题易知，抛物线的对称轴为直线，

过点P作PG⊥y轴于点G，连接OP，

容易发现OG＝OA＝1，PG＝OC＝2，∠PGO＝∠COA＝90°，

∴△PGO≌△COA，

∴∠POG＝∠CAO，

延长PO交抛物线于点Q1，过Q1作Q1F1⊥x轴于点F1，

此时∠F1Q1P＝∠POG＝∠CAO.

易知直线OP的解析式为,

令，

解得，（舍去），

∴.

同理，在y轴上找一点O′，使O′G＝OG＝1，

容易证明△PGO′≌△COA，

∴∠PO′G＝∠CAO，

延长PO′交抛物线于点Q2，

过点Q2作Q2F2⊥x轴于点F2，

此时，∠F2Q2P＝∠PO′G＝∠CAO.

易知直线O′P的解析式为，

令，

解得，（舍去），

∴.

∴点Q的坐标为（，）或（，）.