Question

【题目】在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．

（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．

（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）．

（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3；（2）见解析；（3）m＝n＝0．

【解析】

（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+＝0，即a（）2+b+1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论．

（3）由题意a＞0，可得m＝，n＝，根据m+n＝0，构建方程可得结论．

解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b＝﹣6，

∵函数y1的图象经过（a，﹣6），

∴a2﹣6a+a＝﹣6，

解得a＝2或3，

∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．

（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，

∴r2+br+a＝0，

∴1+＝0，

即a（）2+b+1＝0，

∴是方程ax2+bx+1的根，

即函数y2的图象经过点（，0）．

（3）由题意a＞0，∴m＝，n＝，

∵m+n＝0，

∴+0，

∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，

∵a+1＞0，

∴4a﹣b2＝0，

∴m＝n＝0．