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【题目】在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 AC 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上,点 O 在原点.现将正方形 OABC O 点顺时针旋转,当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交直线 y=x于点 MBC 边交 x 轴于点 N(如图).

1)求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积;

2)旋转过程中,当 MN AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数;

3)试证明在旋转过程中, MNO 的边 MN 上的高为定值;

4)设MBN 的周长为 p,在旋转过程中,p 值是否发生变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求出 p 的值.

【答案】1OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ;(2)旋转过程中,当 MN AC 平行时,正方形 OABC 旋转的度数为 45°-22.5°=22.5 ;3MN 边上的高为 24)在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值无变化.见解析.

【解析】

1)过点MMHy轴,垂足为H,如图1,易证∠MOH=45°,然后运用扇形的面积公式就可求出边OA在旋转过程中所扫过的面积.
2)根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN,从而可以证到OAM≌△OCN.进而可以得到∠AOM=CON,就可算出旋转角∠HOA的度数.
3)过点OOFMN,垂足为F,延长BAy轴于E点,如图2,易证OAE≌△OCN,从而得到OE=ONAE=CN,进而可以证到OME≌△OMN,从而得到∠OME=OMN,然后根据角平分线的性质就可得到结论.
4)由OME≌△OMN(已证)可得ME=MN,从而可以证到MN=AM+CN,进而可以推出p=AB+BC=4,是定值.

解:(1)过点MMHy轴,垂足为H,如图1
∵点M在直线y=x上,
OH=MH
RtOHM中,
tanMOH= =1
∴∠MOH=45°
A点第一次落在直线y=x上时停止旋转,
OA旋转了45°
∵正方形OABC的边长为2
OA=2
OA在旋转过程中所扫过的面积为 =0.5π.∵A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转, OA 旋转了 45 度.

OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π

2)∵MNAC ∴∠BMN=BAC=45°,∠BNM=BCA=45 度.

∴∠BMN=BNMBM=BN

又∵BA=BCAM=CN

又∵OA=OC,∠OAM=OCN

∴△OAM ≌△OCN ∴∠AOM=CON

∴∠AOM= 1/290°-45°=22.5 度.

∴旋转过程中,当 MN AC 平行时,正方形 OABC 旋转的度数为 45°-22.5°=22.5 度.

3)证明:过点OOFMN,垂足为F,延长BAy轴于E点,如图2

则∠AOE=45°-AOM,∠CON=90°-45°-AOM=45°-AOM
∴∠AOE=CON
OAEOCN中,

∴△OAE≌△OCNASA).
OE=ONAE=CN
OMEOMN

∴△OME≌△OMNSAS).
∴∠OME=OMN
MAOAMFOF
OF=OA=2
∴在旋转过程中,MNO的边MN上的高为定值.MN 边上的高为 2

4)在旋转正方形OABC的过程中,p值不变化.
证明:延长 BA y 轴于 E 点,则∠AOE=45°-AOM

CON=90°-45°-AOM=45°-AOM

∴∠AOE=CON

又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=OCN

∴△OAE ≌△OCN

OE=ONAE=CN

∵∠MOE=MON=45°OM=OM

∴△OME ≌△OMN

MN=ME=AM+AE MN=AM+CN

p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4

∴在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值无变化.

故答案为:(1OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ;(2)旋转过程中,当 MN AC 平行时,正方形 OABC 旋转的度数为 45°-22.5°=22.5 ;3MN 边上的高为 24)在旋转正方形 OABC 的过程中,p 值无变化.见解析.

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