Question

1．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（-3，0），C（0，-$\frac{3}{2}$）．
（1）求抛物线顶点P的坐标；
（2）设Q是（1）中所求出的抛物线上的一个动点，点Q的横坐标为t，当Q点在第四象限时，将△QAC的面积表示成t的函数．
（3）对于（1）中抛物线对应的二次函数，试求当m≤x≤m+1时（m为任意实数），函数的最小值．

Answer 1

分析 （1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；
（2）利用 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当m＞-1时，②当m＜-2时，③当-2＜m＜-1时．

解答 解：（1）将点A（-3，0），C（0，-$\frac{3}{2}$）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}-3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
所以抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$．
其顶点P的坐标为（-1，-2）．
（2）设Q（t，$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$），
由Q在第四象限，得|t|=t，|$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$|=-$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$．
联结OQ，易得 S_△QAC=S_△AOC+S_△QOC-S_△AOQ．
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×|-3|×|-$\frac{3}{2}$|=$\frac{9}{4}$，S_△QOC=$\frac{1}{2}$×|-$\frac{3}{2}$|×t=$\frac{3}{4}$t，
S_△AOQ=$\frac{1}{2}$×|-3|×|$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$|=-$\frac{3}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{4}$，
∴S_△QAC=$\frac{9}{4}$+$\frac{3}{4}$t-（-$\frac{3}{4}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{4}$）=$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{4}$t．
（3）∵y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2，
∴对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-2），
当m＞-1时，函数的最小值是$\frac{1}{2}$m²+m-$\frac{3}{2}$；
当m＜-2时，函数的最小值是$\frac{1}{2}$m²+2m；
当-2＜m＜-1时，函数的最小值是-2．

点评 此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数的最值，注意分类讨论思想的运用．